برای تعیین مقدارهایی از \( x \) که عبارات تعریف نشده هستند، باید بررسی کنیم که مخرج کسرها برابر صفر نشود.
1) عبارت اول: \( \frac{2 - x}{x^2 - x - 20} \)
\[
x^2 - x - 20 = 0
\]
با تجزیه:
\[
(x - 5)(x + 4) = 0
\]
بنابراین، عبارت وقتی تعریف نشده است که \( x = 5 \) یا \( x = -4 \).
2) عبارت دوم: \( \frac{x^2}{x + \sqrt{x} + 1} \)
\[
x + \sqrt{x} + 1 = 0
\]
یک راه سریع برای تشخیص عدم تعریف بودن هنگامی است که:
\[
x + \sqrt{x} = -1
\]
که برای مقدارهای مثبت \( x \) قابل بررسی نیست، مگر اینکه به طور خاص مقدار دقیقی محاسبه شود.
3) عبارت سوم: \( \frac{3x}{(x - \sqrt{x})(x + \sqrt{x})} \)
\[
(x - \sqrt{x})(x + \sqrt{x}) = x^2 - x = x(x - 1)
\]
بنابراین، \( x(x - 1) = 0 \) زمانی که \( x = 0 \) یا \( x = 1 \) عبارات تعریف نشده هستند.
پس به طور خلاصه:
- برای عبارت اول: \( x = 5 \) یا \( x = -4 \)
- برای عبارت سوم: \( x = 0 \) یا \( x = 1 \)
